梅森素数

梅森素数

2019-09-27 08:01:37  微科普
本文作者:邓飞

2019-09-27 08:01:37
作者:邓飞
来源:微科普
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素数又叫质数,是在大于1的自然数中只能被1和其自身整除的数。每个自然数都可以唯一地分解成有限个素数的乘积,素数因此构成了自然数体系的基石。2300多年前,古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中证明了素数有无穷多个,并提出一些素数可写成“2^P-1”(即2的P次方减1,其中指数P也是素数)的形式。

由于2^P-1型的素数具有独特数学性质,千百年来,许多著名数学家以及无数数学爱好者对它情有独钟。其中,17世纪的法国数学家马林·梅森在这方面有过重要贡献。为了纪念梅森,数学界就将2^P-1 型的素数称为“梅森素数”(the Mersenne prime)。这种素数珍奇而迷人,因而被称为“数海明珠”。梅森素数历来是数学领域的重要分支——数论研究的一项重要内容,也是当今科学探索的热点和难点之一。

梅森素数貌似简单,但当指数P值较大时,其素性检验的难度就会很大;此外,它的探究需要高深的理论和纯熟的技巧,以及艰巨的计算。例如:1772年,享有“数学英雄”美誉的瑞士数学家及物理学家欧拉在双目失明的情况下,靠心算证明了2^31-1(即2的31次方减1)是个素数;该数有10位(2147483647),堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已;难怪法国大数学家拉普拉斯向他的学生们说:“读读欧拉,他是我们每一个人的老师。”在“手算笔录年代”,人们历尽艰辛,共计才找到12个梅森素数。

电子计算机的出现,大大加快了探究梅森素数的步伐。1996年初,美国数学家及程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程序,并把它放在网页上供人们免费使用。这一计算程序就是举世闻名的GIMPS项目,也是全球首个基于互联网的网格计算项目。至今人们通过该项目已经找到17个梅森素数。例如:2018年,美国数学爱好者帕特里克·拉罗什通过GIMPS项目,成功发现第51个梅森素数——2^82589933-1(即2的82589933次方减1);该素数有24862048位,是迄今为止人类发现的最大素数。目前,全球有近75万人参与GIMPS项目,动用了超过195万核中央处理器(CPU)联网来寻找梅森素数——这在数学史上前所未有,在科学史上也极为罕见。

值得一提的是,人们在寻找梅森素数的同时,对其重要性质——分布规律的研究也持续进行着。从已发现的梅森素数来看,它们在正整数中的分布极不规则。因此,研究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。1992年,中国数学家及语言学家周海中运用联系观察法和不完全归纳法,率先给出了梅森素数分布的精确表达式,这一重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格指出:“周氏猜测具有创新性,开创了富于启发性的新方法,其创新性还表现在揭示新的规律上。”

探究梅森素数具有重大意义,是发现已知最大素数的最有效途径,有力地推动了素数论的研究。另外,梅森素数在计算机科学领域具有重要应用价值——它可以用来检测计算机系统或程序中存在的问题。许多专家认为,梅森素数的研究成果一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学协会主席、《素数的音乐》一书作者马科斯·索托伊甚至认为,梅森素数的探究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志,也是整个科技发展的里程碑之一。

(作者单位:澳大利亚国立大学物理与数学学院)

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