迷人的数学史:那些丧失的不确定性

迷人的数学史:那些丧失的不确定性

2019-05-20 18:08:32  科技日报
本文作者:赵青新

2019-05-20 18:08:32
作者:赵青新
来源:科技日报
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莫里斯·克莱因是美国著名的应用数学家、数学史学家、数学哲学家和教育家。《数学简史:确定性的丧失》是其经典代表作,这本书在20世纪的科学界乃至整个文化界都颇有影响。

在《数学简史》的序言扉页,克莱因引用了亨利·庞加莱的名言:“要预见数学的未来,正确的方法是研究它的历史和现状。”这段题词也出现在克莱因另一部代表作《古今数学思想》的序言,因为这句话正好体现了克莱因的核心思想。《数学简史》就是秉持着这样的原则,从古希腊的毕达哥拉斯派讲起,溯流而下,遵从历史的脉络一直到达20世纪晚期。克莱因也因此被人看作是科学哲学中标准的历史主义学派代表。

早在结绳记事的时代,人们就学会了“数”。不过,“数”成为数学,在西方,是从古希腊开始的。早期的数学并不像今天那样枯燥,似乎就是一大堆的符号、公式和定理。面对混乱、反复无常的大自然,希腊的哲人们在追问:宇宙的运转是有计划的吗?植物、动物、人类、星系、光和声,它们是不是某个完美设计的一部分?亚里士多德、柏拉图、欧几里得、阿基米德等纷纷投身于数学研究,在很大程度上,数学也和古希腊的逻辑学、天文学、地理学、光学、力学等交织在一起,共同构成着西方文明的源头——希腊文明。

古希腊人认为,数学实质上存在于宇宙万物中,它是关于自然界结构的真理,或者如柏拉图所说,是物质世界的客观存在。宇宙中存在着规律和秩序,数学是达到这种秩序的关键,人类的理性则可以洞察这个设计并且揭示其数学结构。天文学家开普勒说:“对外部世界进行研究的目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐,而这些是上帝以数学的语言透露给我们的。”开普勒、笛卡尔、伽利略以及牛顿的数学研究,主要目的都是为了揭示上帝的自然设计的真相,他们信奉数学的真理性,然而,这些伟大的科学家在研究中渐渐开始怀疑:上帝这位“钟表匠”是否是“盲眼”的呢?

数学确定性的丧失,经历了几次冲击:非欧几何和四元数理论的出现使人们认识到,外部物质世界并非必须遵循数学定律;无理数、负数、复数等不合逻辑的发展,让代数不得不独立于几何而存在;牛顿和莱布尼茨的微积分研究和建立在微积分基础上的其他分析分支的逻辑,则让数学处于一种混乱的状态;人们决定重建数的逻辑结构,极限的思想和一系列数学理论分析的严密化,似乎解除了部分危机,然而很快集合论里出现悖论,再次挑战了数学的基础;为了重建数学基础和解决数学的矛盾,人们试图从集合论的公理化、逻辑主义、直观主义和形式主义四个方面对基础的根本问题作出解答,这个时期被克莱因形容为“战国时代”,可惜却无人能够提供一个可以普遍接受的途径。不仅如此,1931年哥德尔的不完全性定理,再一次让数学回到了孤立无援的境地。

数学思想和研究的发展是汇聚不同成果、点滴积累而成的,有时需要几代人、数百年的努力才能取得一点有意义的进步。帕斯卡说:“当我们援引作者时,我们是援引他们的证明,不是援引他们的姓名。”克莱因很欣赏这句话,他对数学课题的研究、数学思想的研究要远远超过对数学家个人的讲述,他希望梳理每一次数学发展或者危机的前因后果,这也是他孜孜不倦地进行数学教育的一种愿望。

那么,数学该向何处去?克莱因态度明确:“数学自命为真理”的认识已经是必须抛弃的,但人们并不需要为此悲观。克莱因列举约翰·密尔、罗素、波普尔等人的发言做了阐释,数学家并不像古典时期所认为的那样依赖于严密的证明,其创造的意义超过任何形式化,直觉甚至比逻辑更有创造力。过去百年间最伟大的科学创造比如电磁学理论、相对论和量子力学,都广泛地运用了现代数学。20世纪数学的发展更获得了一种自由,数学在描述和探索物理现象、社会现象时的作用前所未有地扩大了。

也许,数学史所展示的最有趣之处就在于,数学正是在不断地自我揭发矛盾、自我解决矛盾中得到进步的,这种不确定性也正是其迷人之处所在。

责任编辑:微科普

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