完全数:从6说起

完全数:从6说起

2019-02-07 12:08:31  微科普
本文作者:齐文

2019-02-07 12:08:31
作者:齐文
来源:微科普
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在数学领域,6是第一个完全数,也是最小的完全数。所谓完全数(又称完美数或完备数),是一种特殊的自然数;它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和,恰好等于它本身。

在西方,自然数6就是一个备受宠爱的数字。有人认为,6是属于美神维纳斯的,它象征着美满的婚姻;也有人认为,宇宙之所以这样完美,是因为上帝创造它时花了6天时间等等。中国人对6的宠爱,也是很有说法的;例如“六六大顺”“六畜兴旺”“六谷丰登”“六朝金粉”“六合同风”“身怀六甲”“眼观六路”……不一而足。

在数学领域,6是第一个完全数,也是最小的完全数。所谓完全数(又称完美数或完备数),是一种特殊的自然数;它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和,恰好等于它本身。例如6有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加,1+2+3=6;第二个完全数是28,它有约数1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5个数相加,1+2+4+7+14=28。公元前6世纪的古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯是最早探究完全数的人,他已经知道6和28这两个自然数是完全数了。

到了公元前3世纪,古希腊数学家欧几里得在其名著《几何原本》中首次给出了寻找完全数的方法,被数学界誉为欧几里得定理:如果2^P-1是素数(其中指数P也是素数),则2^(P-1)(2^P-1)是完全数。2^P-1型的素数被数学界称为梅森素数,它是以17世纪法国数学家马林·梅森命名的。

1730年,被称为“世界四大数学家雄狮”之一的瑞士数学家欧拉,时年23岁,正值风华茂盛。他出手不凡,给出了一个出色的定理:每一个偶完全数都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然数,其中P是素数,2^P-1也是素数。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得和欧拉两个互逆定理,公式2^(P-1)(2^P-1)就成为判断一个偶数是不是完全数的充要条件了。

法国哲学家、数学家、物理学家笛卡尔曾公开预言:“能找出完全数是不会多的,好比人类一样,要找一个完人亦非易事。”历史证实了他的预言。2600多年来,人们历尽艰辛,一共才找到51个完全数。有趣的是,这些完全数都是偶数;其个位数要么是6,要么就是8。由于完全数具有独特美妙的数学性质,千百年来,许多著名数学家以及无数数学爱好者对它情有独钟。

最近,来自美国佛罗里达州的互联网专家及数学爱好者帕特里克·拉罗什利用“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目,成功发现第51个完全数2^82589932(2^82589933-1);该数有49724095位,是目前人类发现的最大完全数。如果用普通字号将它打印下来,其长度将超过200公里!

由欧几里得-欧拉定理可知,人们只要找到一个梅森素数,就可以找到一个与其对应的偶完全数。梅森素数貌似简单,但当指数P值较大时,其探究难度就会很大。它是数论研究的一项重要内容,也是当今科学探究的热点和难点之一。目前,世界上有190多个国家和地区近70万人参加一个名为“互联网梅森素数大搜索(GIMPS)”项目,并动用了超过183万核中央处理器联网来寻找梅森素数。

值得一提的是,在梅森素数的基础研究方面,法国数学家鲁卡斯和美国数学家雷默都做出了重要贡献;以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。另外,中国数学家、语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式;这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。

需要指出的是,完全数其实目前并不“完全”,它还有一些谜团尚未解决。例如:完全数是有限还是无穷多个?存在不存在奇完全数?这是当今数论领域的两大著名难题。这些难题与其它科学难题一样,有待人们去攻克。正如德国数论专家西格尔所言:“待到它们被完全破解时,完全数才算是真正的完全数。”

尽管我们现在还看不到完全数的实际用处,但它反映了自然数的某些基本规律。探究自然规律,揭开科学上的未知之谜,正是科学追求的目标。

(作者系德国波恩大学访问学者)

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